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弦切角定理的证明

时间:2024-02-17 10:31:31
弦切角定理的证明[此文共1947字]

第一篇:弦切角定理证明

弦切角定理证明

弦切角定理

编辑本段弦切角定义

顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)

如右图所示,直线pt切圆o于点c,bc、ac为圆o的弦,∠tcb,∠tca,∠pca,∠pcb都为弦切角。

编辑本段弦切角定理

弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明:

证明一:设圆心为o,连接oc,ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠tcb(敬请期待更好文章:WWW.)=∠cab(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

证明已知:ac是⊙o的弦,ab是⊙o的切线,a为切点,弧是弦切角∠bac所夹的弧.

求证:(弦切角定理)

证明:分三种情况:

(1)圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径,ab切⊙o于a,

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

若在优弧m所对的劣弧上有一点e

那么,连接ec、ed、ea

则有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圆心o在∠bac的外部,

过a作直径ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等

应用举例

例1:如图,在rt△abc中,∠c=90,以ab为弦的⊙o与ac相切于点a,∠cba=60°,ab=a求bc长.

解:连结oa,ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2:如图,ad是δabc中∠bac的平分线,经过点a的⊙o与bc切于点d,与ab,ac分别相交于e,f.

求证:ef∥bc.

证明:连df.

ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3:如图,δabc内接于⊙o,ab是⊙o直径,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,

求证:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.

证明:∵ab是⊙o直径

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b,

∵mn切⊙o于c

∴∠mca=∠b,

∴∠mca=∠acd,

即ac平分∠mcd,

同理:bc平分∠ncd.

第二篇:弦切角定理的证明

弦切角定理的证明

弦切角定理:定义弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.(弦切角就是切线与弦所夹的角)弦切角定理证明

证明:设圆心为o,连接oc,ob,oa。过点a作tp的平行线交bc于d,

则∠tcb=∠cda

∵∠tcb=90-∠ocd

∵∠boc=180-2∠ocd

∴,∠boc=2∠tcb

证明:分三种情况:

(1)圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径,ab切⊙o于a,

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

(2)圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

那么

.

(3)圆心o在∠bac的外部,

过a作直径ad交⊙o于d

那么

2

连接并延长to交圆o于点d,连接bd因为td为切线,所以td垂直tc,所以角btc+角dtb=90因为td为直径,所以角bdt+角dtb=90所以角btc=角bdt=角a

3

编辑本段弦切角定义顶点在圆上,一边和圆相交,另图示一边和圆相切的角叫做弦切角。(弦切角就是切线与弦所夹的角)如右图所示,直线pt切圆o于点c,bc、ac为圆o的弦,∠tcb,∠tca,∠pca,∠pcb都为弦切角。编辑本段弦切角定理弦切角定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半.弦切角定理证明:证明一:设圆心为o,连接oc,ob,。∵∠tcb=90-∠ocb∵∠boc=180-2∠ocb∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)∴∠tcb=∠cab(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)证明已知:ac是⊙o的弦,ab是⊙o的切线,a为切点,弧是弦切角∠bac所夹的弧.求证:(弦切角定理)证明:分三种情况:(1)圆心o在∠bac的一边ac上∵ac为直径,ab切⊙o于a,∴弧cma=弧ca∵为半圆,∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角b点应在a点左侧(2)圆心o在∠bac的内部.过a作直径ad交⊙o于d,若在优弧m所对的劣弧上有一点e那么,连接ec、ed、ea则有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab∴∠cea=∠cab∴(弦切角定理)(3)圆心o在∠bac的外部,过a作直径ad交⊙o于d那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90∴∠cda=∠cab∴(弦切角定理)编辑本段弦切角推论推论内容若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等应用举例例1:如图,在rt△abc中,∠c=90,以ab为弦的⊙o与ac相切于点a,∠cba=60°,ab=a求bc长.解:连结oa,ob.∵在rt△abc中,∠c=90∴∠bac=30°∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)例2:如图,ad是δabc中∠bac的平分线,经过点a的⊙o与bc切于点d,与ab,ac分别相交于e,f.求证:ef∥bc.证明:连df.ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac∠efd=∠bad∠efd=∠dac⊙o切bc于d∠fdc=∠dac∠efd=∠fdcef∥bc例3:如图,δabc内接于⊙o,ab是⊙o直径,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,求证:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.证明:∵ab是⊙o直径∴∠acb=90∵cd⊥ab∴∠acd=∠b,∵mn切⊙o于c∴∠mca=∠b,∴∠mca=∠acd,即ac平分∠mcd,同理:bc平分∠ncd.

第三篇:弦切角定理证明方法

弦切角定理证明方法

(1)连oc、oa,则有oc⊥cd于点c。得oc‖ad,知∠oca=∠cad。

而∠oca=∠oac,得∠cad=∠oac。进而有∠oac=∠bac。

由此可知,0a与ab重合,即ab为⊙o的直径。

(2)连接bc,且作ce⊥ab于点e。立即可得△abc为rt△,且∠acb=rt∠。

由射影定理有ac²=ae*ab。又∠cad=∠cae,ac公用,∠cda=∠cea,得△cea≌△cda,有ad=ae,所以,ac²=ab*ad。

第一题重新证明如下:

首先证明弦切角定理,即有∠acd=∠cba。

连接oa、oc、bc,则有

∠acd+∠aco=90°

=(1/2)(∠aco+∠cao+∠aoc)

=(1/2)(2∠aco+∠aoc)

=∠aco+(1/2)∠aoc,

所以∠acd=(1/2)∠aoc,

而∠cba=(1/2)∠aoc(同弧上的圆周角等于圆心角的一半),

得∠acd=∠cba。

另外,∠acd+∠cad=90°,∠cad=∠cab,

所以有∠cab+∠cba=90°,得∠bca=90°,进而ab为⊙o的直径。

2

证明一:设圆心为o,连接oc,ob,。

∵∠tcb=90-∠ocb

∵∠boc=180-2∠ocb

∴,∠boc=2∠tcb(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半)

∵∠boc=2∠cab(圆心角等于圆周角的两倍)

∴∠tcb=∠cab(定理:弦切角的度数等于它所夹的弧的圆周角)

证明已知:ac是⊙o的弦,ab是⊙o的切线,a为切点,弧是弦切角∠bac所夹的弧.

求证:(弦切角定理)

证明:分三种情况:

(1)圆心o在∠bac的一边ac上

∵ac为直径,ab切⊙o于a,

∴弧cma=弧ca

∵为半圆,

∴∠cab=90=弦ca所对的圆周角(2)圆心o在∠bac的内部.

过a作直径ad交⊙o于d,

若在优弧m所对的劣弧上有一点e

那么,连接ec、ed、ea

则有:∠ced=∠cad、∠dea=∠dab

∴∠cea=∠cab

∴(弦切角定理)

(3)圆心o在∠bac的外部,

过a作直径ad交⊙o于d

那么∠cda+∠cad=∠cab+∠cad=90

∴∠cda=∠cab

∴(弦切角定理)

编辑本段弦切角推论

推论内容

若两弦切角所夹的弧相等,则这两个弦切角也相等

应用举例

例1:如图,在rt△abc中,∠c=90,以ab为弦的⊙o与ac相切于点a,∠cba=60°,ab=a求bc长.

解:连结oa,ob.

∵在rt△abc中,∠c=90

∴∠bac=30°

∴bc=1/2a(rt△中30°角所对边等于斜边的一半)

例2:如图,ad是δabc中∠bac的平分线,经过点a的⊙o与bc切于点d,与ab,ac分别相交于e,f.

求证:ef∥bc.

证明:连df.

ad是∠bac的平分线∠bad=∠dac

∠efd=∠bad

∠efd=∠dac

⊙o切bc于d∠fdc=∠dac

∠efd=∠fdc

ef∥bc

例3:如图,δabc内接于⊙o,ab是⊙o直径,cd⊥ab于d,mn切⊙o于c,

求证:ac平分∠mcd,bc平分∠ncd.

证明:∵ab是⊙o直径

∴∠acb=90

∵cd⊥ab

∴∠acd=∠b,

∵mn切⊙o于c

∴∠mca=∠b,

∴∠mca=∠acd,

即ac平分∠mcd,

同理:bc平分∠ncd.

第四篇:弦切角的逆定理的证明

弦切角逆定理证明

已知角cae=角abc,求证ae是圆o的切线

证明:连接ao并延长交圆o于d,连接cd,

则角adc=角abc=角cae

而ad是直径,因此角acd=90度,所以角dac=90度-角adc=90度-角cae

所以角dae=角dac+角cae=90度

故ae为切线

第五篇:弦切角、切割线、相交弦三条圆这一章已删定理的证明

肯特教育欢迎各位朋友批评指正,王老师18201460373

弦切角、切割线、相交弦

三条圆这一章已删定理的证明

一、弦切角定理

1、弦切角的定义:顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图(1)所示,ab为圆的一条弦,bc为圆的切线,∠abc即为圆的的弦切角。

图(1)

bc

2、弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角,等于它所夹的弧所对的圆心角的度数的一半。证明如下:

a

图(2)

如图(2)所示,已知ab为⊙o的直径,bd为过圆上b点的切线,求证:(1)∠cbd=∠cab,∠cbd=∠ceb(2)∠cbd=∠cob 21证明:(1)∵ab为⊙o的直径,bd为过b点的切线∴ab⊥bd

∴∠abd=90o

第 1 页共 1 页

肯特教育欢迎各位朋友批评指正,王老师18201460373∴∠abc+∠cbd=90°

∵ab为⊙o直径

∴∠acb=90°

则∠abc+∠cab=90°

∴∠cbd=∠cab

∵∠cab和∠ceb同弧所对的圆周角∴∠cab=∠ceb

则∠cbd=∠ceb

(2)∵∠cab和∠cob是同弧所对的圆周角和圆心角∴ ∠cab=∠cob 21

又∵∠cbd=∠cab

∴∠cab=∠cob 21

二、切割线定理及推论

1、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。证明如下:

图(3)

如图(3)所示,直线pa与圆相切于a点,直线pc与圆相交于b、c两点,求证:pa2=pb·pc

证明:连结ba、ca

∵pa为圆的切线∴∠pab=∠pca(弦切角定理)

∵∠pab=∠pca,∠bpa=∠apc(公共角)∴△pab∽△pca

∴pa

pc = pb

pa

∴ pa2=pb·pc

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